Tugas Softskill Gunadarma yanti suhesti: Makalah matematika dasar 2B aplikasi turunan kecepatan dan percepatan

APLIKASI TURUNAN KECEPATAN

DAN

PERCEPATAN

MATEMATIKA DASAR 2B

NAMA KELOMPOK :

1. RAMLY FIRMAN 37113249

2. YANTI SUHESTI 39113396

3. BEN RAYNER MALANGUNA 31113698

4. FIRMAN WENDY MARTUA S 33113518

5. ANDHIKA CIPTA RACHMAN 30113840

KELAS 1DB02

DOSEN INA AGUSTINA

KATA PENGHANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya kami dapat menyelesaiakan makalah yang berjudul ‘APLIKASI TURUNAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN’. Meskipun banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya, tapi kami berhasil menyelesaikannya dengan baik.

Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada dosen pembimbing yang telah membantu kami dalam mengerjakan proyek makalah ini. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman mahasiswa yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak langsung dalam pembuatan makalah ini.

Tentunya ada hal-hal yang ingin kami berikan kepada masyarakat dari hasil makalah ini. Karena itu kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi sesuatu yang berguna bagi kita bersama.
Semoga makalah yang kami buat ini dapat berguna bagi kita semua.

Jakarta , April 2014

Daftar Isi

Kata Pengantar……………………………………………………………….... 2

Daftar Isi…………………………………………………………………….... 3

BAB I Pendahuluan…………………………………………………………... 4

I.1 Latar Belakang Masalah………………………………………………..…. 4

I.2 Rumusan Makalah…………………………………………………........... 4

I.3 Tujuan Makalah………………………………………………………….. 4

BAB II Pembahasan…………………………………………………………. 5

2.1 Alikasi turunan kecepatan dan percepatan.................................................... 5

2.2 GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS DE L'HôPITAL ........ 13

2.2 contoh aplikasi turunan dalam berbagai bidang……………………………… 17

BAB III. PENUTUP……………………………………………………….. 24

3.1 Kesimpulan…………………………………………………………..... 24

Daftar pustaka............................................................................................. 24

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.

1.2. Rumusan Masalah

Apa saja apliksi turunan kecepatan dan percepatan yang ada dalam ilmu matematika, cabang ilmu lain atau dalam kehidupan sehari-hari?

1.3. Tujuan

Dapat mengtahui dan menjelaskan beberapa Aplikasi turunan, Bentuk kecepatan dan percepatan .

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Aplikasi turunan kecepatan dan percepatan.

Kecepatan dan percepatan.

Contoh 1. Sebuah objek bergerak sepanjang garis dengan posisi s = 2t²-12t +8 (s dalam cm dan t detik) Ditanya:

(a) Kecepatan dan percepatan pada t = 1 dan t = 6

(b) Kapan kecepatan 0 , dan kapan kecepatan positif.

Jawab.

Pada t = 1 à v = - 8 cm/det (berlawanan arah) dan t = 6 à v =16 cm/det

b. kecepatan 0 à 0=4t-12 àt=3 detik. Setelah 3 detik, kecepatannya 0.

Kecepatan positiv v>0 à 4t-12>0 àt>3. Kecepatanpositip setelah 3 detik.

A. Kecepatan

Ketika Kamu melakukan perjalanan dengan mobil dari suatu kota ke kota lain tentulah kamu melewati jalan yang tidak selalu lurus dan naik turun. Misalnya dari Bandung ke Bogor melewati puncak. Kendaraan yang kamu gunakan kecepatannya berubah-rubah. Hal ini dapat dilihat dari nilai yang ditunjukan speedometer pada kendaraan. Oleh karena kecepatannya tidak tetap maka sering digunakan istilah kecepatan rata- rata. Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan perpindahan benda dengan selang waktu yang diperlukan, sedangkan kelajuan rata-rata merupakan jarak yang ditempuh seluruhnya dibagi dengan selang waktu tempuh. Kecepatan dan kelajuan dapat dirumuskan sebagai berikut.

= kecepatan,

= perpindahan,

= selang waktu

Kecepatan dapat dihitung dengan

, jika titik B mendekati titik A, maka selang waktu t menjadi kecil, Untuk selang waktu t mendekati nol , B akan berimpit di A, maka ketika itu kecepatan yang terjadi disebut kecepatan sesaat. Arah kecepatan sesaat di suatu titik searah dengan garis singgung di titik tersebut. Kecepatan sesaat sering disebut dengan kecepatan benda.

t ® 0

Kecepatan akhir pada saat tertentu berbeda dengan kecepatan awal pada saat t = 0 yaitu saat peninjauan gerak dilakukan.Persamaan untuk menentukan kecepatan akhir , jarak yang ditempuh, dan hubungan antara kecepatan akhir dengan jarak, serta grafik hubungan

dapat dinyatakan sebagai berikut.

GAMBAR (2.1) grafik hubungan

Hampir semua gerak yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak lurus berubah beraturan. Namun demikian ada juga yang kombinasi antara GLB dan GLBB secara berselang-seling. Grafik atau kurva perubahan jarak terhadap perubahan waktu dapat di tunjukkan sebagai berikut.

GAMBAR (2.2) Grafik perubahan jarak terhadap perubahan waktu

Sedangkan grafik percepatan terhadap perubahan waktu dapat di tunjukkan sebagai berikut.

GAMBAR (2.3) Grafik percepatan terhadap perubahan waktu

B. Percepatan

Benda yang bergerak dengan kecepatan yang tidak konstan akan mengalami perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Benda tersebut dikatakan mengalami percepatan.

Besarnya percepatan atau perlambatan (akselerasi) dapat ditentukan dengan membagi perubahan kecepatan dengan selang waktu yang ditempuh.

a =

dimana a adalah percepatan dalam m/s² dan Dv adalah perubahan kecepatan dan Dt adalah selang waktu.

Berikut ini grafik hubungan perubahan kecepatan terhadap selang waktu

v_t_v

v_ot (selang waktu) t (selang waktu)

GAMBAR (2.4) dan (2.5) Grafik hubungan perubahan kecepatan terhadap

selang waktu

Dari grafik (2.4) terlihat bahwa perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu sama dengan kemiringan grafik. Semakin besar kemiringan grafik semakin besar percepatan benda. Pada grafik (2.5) percepatan terbesar adalah A, kemudian B dan C, karena kemiringan grafik terbesar adalah A, B kemudian C.

C. Bilangan Kompleks

Fisika matematika adalah cabang ilmu yang mempelajari "penerapan matematika untuk menyelesaikan persoalan fisika dan pengembangan metode matematis yang cocok untuk penerapan tersebut, serta formulasi teori fisika". Ilmu ini dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi. Salah satu aplikasi dalam fisika matematika dalam bilangan kompleks adalah penggunaan turunan :

dengan

dan

merupakan fungsi

Sedangkan harga mutlak dari kedua turunan di atas adalah

Metode ini digunakan dalam fisika, dimana jika z menyatakan kedudukan suatu benda dalam bidang maka dapat dicari besar kecepatan dan percepatan dari benda tersebut.

Besar kecepatan sebagai

dan besar percepatan

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana

dan

adalah bilangan riil, dan

adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat

. Bilangan riil

disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner [1]. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai

adalah

, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a. Sebagai contoh:

adalah bilangan kompleks dengan bagian riil

dan bagian imajiner

. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil, namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian. Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana

digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis

. Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan

, atau

Bilangan real,

, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan

dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan

Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat dibawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup. Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks. Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real

dengan operasi sebagai berikut:

Dengan definisi diatas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan

. Karena bilangan kompleks

merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil

, bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks. Bilangan riil

dapat disebut juga dengan bilangan kompleks

, dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil

menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks

. Dalam

, berlaku sebagai berikut:

1. identitas penjumlahan ("nol"):

2. identitas perkalian ("satu"):

3. invers penjumlahan

4. invers perkalian (reciprocal) bukan nol

Secara matematik kecepatan sesaat ini dapat dirumuskan sebagai deferensial atau turunan fungsi yaitu fungsi posisi. Jadi kecepatan sesaat adalah deferensial dari posisinya.

$\vec{V}= \frac{dr}{dt}$ …………………………… (1.5)

Sedangkan laju sesaat dapat ditentukan sama dengan besar kecepatan sesaat. Laju sesaat inilah yang dapat diukur dengan alat yang dinamakan speedometer.

Sudah tahukah kalian dengan deferensial fungsi itu? Tentu saja sudah. Besaran posisi atau kecepatan biasanya memenuhi fungsi waktu. Deferensial fungsi waktu tersebut dapat memenuhi persamaan berikut.

Jika $r = t^{n}$

maka $v = \frac{dr}{dt} = nt^{n-1}$ …………………………… (1.6)

Pada gerak dua dimensi, persamaan 1.5 dan 1.6 dapat dijelaskan dengan contoh gerak perahu seperti pada berikut ini.

Secara vektor, kecepatan perahu dapat diuraikan dalam dua arah menjadi vx dan vy. Posisi tiap saat memenuhi P(x,y). Berarti posisi erahu atau benda dapat memenuhi persamaan 1.1. dari persamaan itu dapat diturunkan persamaan kecepatan arah sumbu x dan sumbu y sebagai berikut.

r = xi + yj

$\frac{dr}{dt} = \frac{dx}{dt} i + \frac{dy}{dt} j$

$V = V_{x}i + V_{y}j$ …………………………… (1.7)

Jadi proyeksi kecepatannya memenuhi :

$V_{x} = \frac{dx}{dt} dan V_{y} = \frac{dy}{dt}$

Besar kecepatan sesaat, secara vektor dapat memenuhi dalil Pythagoras. Kalian tentu dapat merumuskan persamaan besar kecepatan tersebut. Perhatikan persamaan 1.7. Dari persamaan itu dapat kalian peroleh :

$\left | V \right | = \sqrt{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}$ ……………………. (1.8)

Untuk memahami penjelasan di atas berikut contoh soal tentang kecepatan dan kelajuan sesaat.

Contoh Soal :

Partikel bergerak dengan posisi yang berubah tiap detik sesuai persamaan : r = (4t² − 4t + 1) i + (3t² + 4t− 8) j. dengan r dalam m dan t dalam s. i dan j masing-masing adalah vektor satuan arah sumbu X dan arah sumbu Y. Tentukan:

a. posisi dan jarak titik dari titik acuan pada t = 2s,

b. kecepatan rata-rata dari t = 2s s.d t = 3s,

c. kecepatan dan laju saat t = 2s!

Penyelesaian

r = (4t² − 4t + 1) i + (3t² + 4t − 8) j

a. Untuk t = 2s

r₂ = (4.2² − 4.2 + 1) i + (3.2² + 4.2 − 8) j

r₂ = 9 i + 12 j

jarak : $\left |r_{2} \right |=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{225}=15m$

b. Kecepatan rata-rata

r₂ = 9 i + 12 j

r₃ = (4.3² − 4.3 + 1) i + (3.3² + 4.3 − 8) j

= 25 i + 31 j

Kecepatan rata-ratanya memenuhi:

$\vec{V}=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

$\vec{V}=\frac{()25i+31j)-(9i+12j))}{3-2}=16i+19j$

besarnya :

$\left |\vec{V} \right |=\sqrt{16^{2}+19^{2}}=\sqrt{617}=24,8 m/s$

c. Kecepatan sesaat

$V =\frac{dr}{dt}$

$V =\frac{dr}{dt}\left \{ (4t^{2}-4t+1)i+(3t^{2}+4t-8)j \right \}$

untuk t = 2s:

$V_{2} = (8.2-4)i + (6.2+4)j$

$V_{2} = 12i + 16j$

laju sesaatnya sama dengan besar kecepatan sesaat

$\left |V_{2} \right | = \sqrt{12^{2} + 16^{2}}=\sqrt{400}=20m/s$

GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS DE L'HôPITAL

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5jnRvFxB5Tm1h3-eXYt1ocXmI_Sj7jrpL5K3k8GhGiupSpU4oI56yhFTAMAW2JjsBmnKLIRX43vIuzSutWFwi36HiMfOyuY0c3O_Np0RTVISp35EfPQCSkgdD0JLZmE6l82isTSftU307/s200/220px-Guillaume_de_l'H%C3%B4pital.jpg

Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital (1661 - 2 Februari 1704) adalah seorang ahli matematika Perancis. Namanya dikenal luas untuk teorema yang digunakan untuk menghitung nilai limit bentuk tak tentu. l'Hôpital biasanya dieja sebagai "l'Hospital" dan "l'Hôpital."

l'Hôpital lahir di Paris, Perancis. Nama ayahnya adalah Anne-Alexandre de l'Hôpital (Letnan Jenderal tentara King's). Nama ibunya Elisabeth Gobelin (putri Claude Gobelin, Intendent di King's Army dan Penasihat negara) Dia awalnya telah merencanakan karir militer, tetapi penglihatan buruk menyebabkan dia beralih ke matematika . Dia memecahkan masalah brachistochrone , terlepas dari matematikawan kontemporer lain, seperti Isaac Newton Dia meninggal di Paris.

L'Hôpital adalah penulis buku teks pertama pada infinitesimal calculus and mathematics, l'Analisis des Infiniment four pour l'intelligence des Lignes Courbes. Diterbitkan tahun 1696, teks tersebut memasukkan perkuliahan gurunya, Johann Bernoulli, di mana Bernoulli membahas bentuk tak tentu 0/0. Ini adalah metode untuk menyelesaikan bentuk-bentuk tak tentu dengan pengulangan diferensiasi yang diberi nama seperti namanya.

Pada 1694 ia memiliki kesepakatan dengan Johann Bernoulli . Kesepakatan itu adalah bahwa l’Hôpital akan dibayar Bernoulli 300 Franc setahun untuk menceritakan penemuannya, yang l'Hôpital gambarkan dalam bukunya. Pada 1704, setelah kematian l'Hôpital's, Bernoulli mengungkapkan kesepakatan itu kepada dunia, mengklaim bahwa banyak dari hasil di buku l’Hôpital's adalah karena dia. Pada tahun 1922 ditemukan teks yang memberikan dukungan untuk Bernoulli. Cerita meluas bahwa l’ Hôpital mencoba untuk mendapatkan kredit untuk menciptakan aturan l'Hôpital's adalah palsu: ia menerbitkan bukunya secara anonim, mengakui bantuan Bernoulli dalam pengantar, dan tidak pernah mengaku bertanggung jawab atas aturan tersebut.

Rumus Cepat L’ Hospital dengan Pemahaman Konsep Penting Matematika

Dalam kalkulus, rumus Hospital termasuk rumus cepat yang luar biasa. Sangat cepat dan sederhana. Sehingga jika Anda atau anak Anda menguasai rumus cepat L’ Hospital maka akan menjadi jago matematika.

Tetapi yang lebih penting dari rumus cepatnya adalah anak Anda memahami konsepnya lebih dulu. Dengan membaca tulisan Paman APIQ ini maka Anda memahami konsep penting rumus Hospital dan dengan demikian Anda menjadi jago matematika. Silakan memanfaatkan rumus Hospital dengan asyik maka Anda akan semakin kreatif.

Rumus cepat Hospital sangat hebat untuk menghitung limit bentuk 0/0 atau ~/~. Sedangkan bentuk tak tentu lain perlu kita ubah dulu menjadi bentuk 0/0 dulu agar dapat kita hitung cepat dengan aturan Hospital.

Mari kita coba dengan beberapa contoh dan rasakan hebatnya Anda menggunakan rumus cepat Hospital.

Hitung limit x ==> 3 dari

(x^3 – 27)/(x – 3) = … = 0/0

Cara biasa adalah kita akan melakukan pembagian panjang bentuk aljabar di atas. Sesuai namanya, prosesnya cukup panjang. Banyak siswa yang menjadi malas karena terlalu melelahkan menghitung dengan pembagian panjang.

Rumus cepat aturan Hospital memberi kita cara yang mudah dan cepat. Turunkan pembilang dan turunkan penyebut.

(x^3 – 27)/(x – 3) = 0/0 = 3x^2/1 = 27 (Selesai).

Begitu mudah rumus cepat Hospital.

Jika bentuk limit makin rumit justru aturan Hospital banyak membantu. Tentu saja kita juga harus tahu dalam situasi seperti apakah aturan Hospital tidak dapat kita terapkan.

Paman APIQ mengajak kita untuk sejenak mencatat pembuktian aturan L’ Hospital ini. Dengan pembuktian ini kita akan semakin yakin dengan kekuatan Hospital.

“Untuk selang [a , b] yang memenuhi syarat , sesuai rataan Cauchy, akan terdapat

[f(b) – f(a)]/[g(b) – g(a)] = f’(c)/g’(c)

Ambil f(a) = 0 = f(b) maka

f(b)/g(b) = f’(c)/g’(c)

Terbukti.”

Kita tinggal menambahkan notasi limit pada persamaan di atas bahwa
b ==> a dan c ==> a.

Bagaimana dengan bentuk ~/~ ?

Memang sedikit lebih rumit. Tetapi kita dapat saja dengan cerdik mengubah bentuk.

~/~ = (1/0)/(1/0) = (1.0)/(0.1) = 0/0

Dengan cara ini kita dapat memanfaatkan logika yang mirip untuk bentuk yang berbeda.

Yang terpenting, menurut Paman APIQ, adalah bagaimana kita dapat memanfaatkan aturan Hospital dengan benar, cepat, dan sederhana. Matematika menjadi lebih asyik! Paman APIQ menyiapkan tiga poin agar anak kita menjadi jago matematika dengan aturan Hospital.

1. Pastikan bentuk tak tentu limit 0/0 atau ~/~

2. Pahami bentuk tak tentu dan tak wajar lainnya.

3. Hati-hati dengan bentuk trigonometri atau eksponen yang memiliki turunan bolak-balik tiada habis.

Poin 1 dan 2 adalah yang paling penting. Dengan pemahaman ini anak kita akan langsung menyelesaikan limit dengan mudah.

0/0 adalah tak tentu.

Maksudnya nilainya dapat saja 1, 3, 0 , -5 atau lainnya. Makanya disebut sebagai bentuk tak tentu. Tugas limit adalah menentukan bentuk tak tentu menjadi nilai tertentu. Demikian juga bentuk ~/~.

2/0 = ~
3/~ = 0

Bentuk di atas sudah selesai. 2/0 atau 3/~ adalah bentuk tak wajar. Tidak perlu perhitugan lebih lanjut untuk menentukan nilainya. Langsung saja seperti contoh di atas. Berikut ini juga bentuk-bentuk tak wajar yang sudah selesai.

0 + 0 = 0
~ + ~ = ~
0.0 = 0
~.~ = ~
0/~ = 0
~/0 = ~

Sedangkan,

~ – ~ = tak tentu
0 – 0 = tak tentu

Sehingga perlu limit untuk menyelesaikan dua bentuk terakhir di atas. Tetapi bentuk pengurangan di atas tidak dapat langsung kita terapkan aturan Hospital. Kita perlu mengubahnya ke bentuk 0/0 atau ~/~.

Untuk siswa SMA atau yang sederajat bentuk-bentuk tak wajar atau tak tentu di atas sudah cukup dan banyak membantu. Sedangkan untuk tingkat yang lebih tinggi, Paman APIQ memberi beberapa tambahan bentuk tak wajar.

0^0 = tak tentu
0^~ = tak tentu
1^~ = tak tentu
~^0 = tak tentu

Sedangkan bentuk-bentuk tak wajar berikut ini sudah selesai.

0^1 = 0
1^0 = 1
~^~ = ~
~^1 = ~

1. . APLIKASI TURUNAN DALAM BERBAGAI BIDANG :

Dalam Bidang Fisika

Contoh : sebuah roket diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5.000km/jam.

Jawab :

Misal ketinggian roket adalah y dan jarak dari menara z. Maka,

Diketaui dengan menggunakan dalil phythagoras maka diperoleh y²+ 9 = z². Pada saat z = 5 maka y = 4.

Dengan menggunakan turunan fungsi implisit maka didapatkan 2y

Kemudian disubtitusikan y = 4, z = 5 dan = 5.000 maka diperoleh 2y

- 2 (4) = 2.(5).(5.000)

- 8 = 50.000

- =

- = 6.250

Dalam Bidang Ekonomi

Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai , turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai , pendapatan marjinal sebagai , dan keuntungan marjinal sebagai .

Contoh :

sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x² dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Penyelasaian :

biaya rata-rata =

= 3200 + 3,25x – 0,0003x² / X

= 3200 + 3,25 (1.000) – 0,0003 (1.000)² / 1.000

= 6.150 / 1.000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1.000 = Rp. 6.150

biaya marjinal =

= 3,25 – 0,0006x

= 3,25 – 0,0006 (1.000)

= 2,65

maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1.000 = Rp. 2.650 Pada x = 1.000

Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp. 6.150 untuk memproduksi 1.000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1.000, hanya dibutuhkan Rp. 2.650 untuk membuat 1.000 barang yang sama.

Demikian postingan saya tentang turunan parsial. Mohon maaf bila ada kesalahan Semoga postingan ini bermanfaat. Jika anda butuh postingan yang lain, anda bisa meninggalkan comment dan saya akan berusaha memposting postingan yang anda butuhkan.

Dalam Bidang Matematika

Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.

Contoh :

Penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³- 2x²- 5 pada titik (3,2).

Jawab :

Y = f(x) = x³- 2x²- 5

Y = f(x) = 3x²- 4x f’(3) = 3.(3)² - 4(3) = 15 ; m = 15.

Rumus Pers. Garis Singgung :

Y – y_o = m ( x – x_o)

maka garis singgung fungsi diatas adalah :

Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

3. LIMIT DI KETAKHINGGAAN, LIMIT TAK TERHINGGA :

Definisi-definisi Cermat Limit bila x→ ± ∞ .

Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut.

Definisi:

(Limit bila x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

X > M → │f(x) - L│ < ε

Definisi:

(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang

x→ -∞

berpadanan sedemikian sehingga

X < M → │f(x) – L│ < ε

Definisi:

(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan

x→c⁺

positif M, berpadanan suatu δ > 0 demikian sehingga

0 < x – c < δ → f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertikal dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertikal. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horisontal dari grafik y = f(x) jika,

Lim f(x) = b atau Lim f(x) = b

x→∞ x→ -∞

Garis y = 0 adalah asimtot horisontal.

Kumpulan Soal-Soal Diferensial

1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)⁴+(4x-1)³adalah . . .

Jawab:

Kita uraikan satu per satu dulu masing-masing persamaan, misalnya :

f (x) = y = (3x-2)⁴misal U = (3x-2) du/dx = 3

dy/dx = n.U^n-1 . du/dx

= 4. (3x-2)^4-1.3

= 12 (3x-2)³

Terus berlanjut ke persamaan berikutnya :

f (x) = y = (4x-1)³ misal U = (4x-1) du/dx = 4

dy/dx = n.U.^n-1 . du/dx

= 3. (4x-1)^3-1. 4

= 12 (4x-1)²

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

f (x) = y = (3x-2)⁴+(4x-1)³

= 12 (3x-2)³+ 12 (4x-1)²

= 12 (3x-2)³+ (4x-1)²

2. Tentukan turunan pertama dari y = 5x² + 7 adalah . . .

4x + 3

Jawab :

y = 5x²+ 7, kita misalkan U = 5x²+7 maka du/dx = 10 x

4x + 3 V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

= V. du/dx – U. dv/dx

V²

= (4x+3) (10x) – (5x² + 7) (4)

(4x + 3)²

= 40x² + 30x – 20x² – 28

(4x + 3)²

= 20x²+ 30x – 28

(4x + 3)²

3. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t²maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !

Jawab :

f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t²

f’ (t) = 11.000 - 8.00 t

sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah

f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5)

= 11.000 – 4.000

= 7.000

Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang

4. Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah

TC = x³-4x²+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !

Jawab :

TC = x³-4x²+16x+80

MC = TC^I= 3x²-8x+16

Sehingga MC untuk x = 20 adalah

MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16

= 3 (4.00) – 8 (20) + 16

= 1.200 – 1.60 + 16

= 1.050

Satuan rupiah MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah

Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.

5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah

y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . .

jawab :

y = (2x + - 80)

y (x) = (2x² + 10.000 – 80x)

biaya minimum diperoleh jika y^I(x) = 0

4x-80 = 0 x = 20

Biaya minimum adalah :

y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20

= 800 + 10.000 – 1.600

= 9.200

Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-

Contoh :

Posisi partikel ditunjukkan oleh pers.

s=f(t)=t³-6t²+9t

(t dlm detik dan s dlm meter).

a. Cari kecepatan pada waktu t

b. Cari kecepatan setelah 2 detik

c. Kapan partikel berhenti

d. kapan partikel bergerak maju ?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.

s=f(t)=t³-6t²+9t

v(t)=

=3t²-12t+9

b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t=2

v(t)=

=3t²-12t+9

v(2)= 3(2)²-12(2)+9=-3m/dt

c. Partikel berhenti jika v(t)=0

v(t)= 3t²-12t+9=0

3t²-12t+9=3(t²-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0

t₁=1 dan t₂=3

Partikel berhenti setelah t=1 atau t=3

d. Partikel bergerak maju (dlm arah

positif) jika v(t)>0

3t²-12t+9=3(t-1)(t-3)>0

® Partikel bergerak maju jika

t<1 atau t>3 (dari mana ?)

® Partikel bergerak mundur jika

1<t<3

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa turunan memiliki sangat banyak penerapan. Diantaranya adalah untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi, menentukan nilai maksimum dan nilai minimum lokal, menentukan kemonotonan dan kecekungan grafik fungsi, menentukan nilai limit tak hingga. Selain itu, konsep turunan juga dapat di aplikasikan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Dalam fisika misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung kecepatan. Dalam matematika sendiri turunan biasa digunakan untuk menentukan luas maksimum suatu benda, menentukan persamaan garis singgung, dll. Sedangkan dalam ekonomi, turunan digunakan untuk menentukan biaya marjinal dari produksi suatu barang.

DAFTAR PUSTAKA:

http://www.rumahapiq.com/rumus-cepat-l%e2%80%99-hospital-dengan-pemahaman-konsep-penting-matematika#ixzz309dzpWVd

http://gunawool.blogspot.com/2012/01/kumpulan-soal-diferensial-dan.html